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Nel 1872, il matematico tedesco Klein propose un documento sull '"Esame comparativo sulla geometria moderna" all'Università dell'Università di Erranian. Ha proposto che la cosiddetta geometria sia studiare lo studio della natura di un certo tipo di trasformazione rimanendo invariata. Secondo questa visione, la "natura geometrica" del cosiddetto grafico è la natura del cambiamento in un gruppo di trasformazione. In altre parole, quanti diversi gruppi di trasformazione hanno molte geometrie diverse. Questa visione di Klein viene successivamente chiamata "Erlanggen".
Introduzione al gruppo SAFR
Trasformazione geometrica
fornisce un insieme M di qualsiasi oggetto geometrico, e l'accordo è chiamato spazio. Il processo che cambia ogni oggetto geometrico (o elemento) in un altro oggetto geometrico viene definito trasformazione geometrica su M, detta trasformazione. Un oggetto geometrico è indicato da alfa o da un motivo configurato da molti oggetti e α cambia α in un altro oggetto o grafico B sotto T, ricordati di T (α) = B, B L'immagine di α, α è chiamata la sorgente dell'immagine di B.
Prendi un altro ruolo di trasformazione S in B, poni S (b) = c, se i due effetti continui di trasformazione, α cambiano in с, quindi anche il processo di cambiamento in с è una trasformazione, ricordati di p, cioè p (α) = ñ. P Il prodotto di S e T è indicato come P = ST. L'ordine di trasformazione del prodotto è generalmente costante, cioè ST ≠ TS.
Se ci sono tre trasformazioni T, S, R, azione precedente T, seguita da S, e infine R, e il risultato è RST, l'ordine del simbolo rappresenta il lato destro a sinistra. La combinazione del prodotto di trasformazione è stabilita: (RS) T = R (ST) = RST.
Se T viene modificato, ogni elemento B è l'immagine di un unico elemento α, e quindi t è una trasformazione uno a uno. In questo momento, T ha una trasformata inversa determinata, ricorda T -1, il prodotto t-1 mantiene ogni elemento, che è una conversione costante, ricordando E, TT-1 = T-1T = E.
Il gruppo di conversione è un insieme di trasformazioni limitate o illimitate su M, e soddisfa le seguenti due condizioni: 1 Il prodotto di due trasformazioni qualsiasi nell'insieme G appartiene a G; 2 Ognuna delle collaterali g La trasformazione deve avere la sua trasformazione inversa, e questa trasformazione inversa appartiene anche a G, che si chiama gruppo di conversione su M.
Se una parte della trasformazione è presa da un gruppo di trasformate noto G, l'insieme che costituisce un gruppo di trasformazioni G1 e un sottogruppo di trasformate di G1 è G1.
è definito dalla definizione: l'integrazione di insiemi sportivi, insiemi di conversione affine, insiemi di riflessione, ecc. nel piano o nello spazio costituisce un gruppo di trasformazione, rispettivamente, chiamato gruppo omaggio, gruppo affine, gruppo proiettile e simili, rispettivamente . Aspettare; il gruppo di movimento è un sottogruppo del gruppo affine, il gruppo sportivo e il gruppo affine sono il sottogruppo del gruppo di tiro.
dato uno spazio M e un gruppo di trasformazione G, se c'è una trasformazione in G, il grafico α diventa grafico B, e α e B sono equivalenti. La definizione dal gruppo di trasformazione può essere lanciata:
1 Se il grafico α è equivalente al grafico B, anche il grafico B è equivalente al grafico α equivalente. Infatti, se il grafico α è equivalente a B, il gruppo G deve cambiare T, per cui T (α) = B; cioè T-1 (b) = α, tuttavia T-1 appartiene a G, il che indica che G C'è un cambiamento per cambiare B in α, quindi B è equivalente ad α.
2 Se due grafici α eb sono equivalenti al terzo grafico с equivalente, α eb sono equivalenti tra loro. Infatti, se α è equivalente a ñ equivalenza, il gruppo g deve cambiare T, in modo che la T (α) = с; se B è equivalente alla ñ, la G deve cambiare S, così che S (b) = ñ Quindi, S-1 (с) = B, quindi, S-1T (α) = B, quindi il pattern α e B è equivalente.
Univariato
La natura equivalente di Clein della grafica nello spazio M è indicata come natura geometrica o natura costante, e le proprietà geometriche sono qualsiasi trasformazione nel gruppo noto G. Viene combinata la quantità invariata, che è ovviamente tutta la grafica equivalente. Tutte le proprietà invarianti sotto un gruppo G sono chiamate natura di G, e la geometria della natura appartenente a g è nota come geometria da G.
Un'idea di Klein
Clein's theory of various geometries as the constant nature of various groups they have learned, making it in the 1980s The various geometries found have shown a more profound connection, and he proposed this group of view in the famous "Erranian Gang". Here, it takes out the idea of geometric classification in accordance with the change group - the idea of the Erlanggen. For example, the nature of the motion is the metrics, and the geometric geometric geometric geometry is called metrics (Ou's geometry); the nature of the affine transformation is the nature of the affine, and the geometric of the affine is called the affine geometry; The nature of the shooting transform is the material of the shooting, and the geometric geometry of the material is called the shooting geometry; Under the sport, the distance, angle, area, parallelism, single ratio, and cross-comparison; under affine transformation, distance, angle, area varies, but (in the same direction line segment) single, parallel Sexuality, a total linear, comparison, remain unchanged; for the shooting group, single ratio, parallelism changes, but co-linear, and the volume is maintained unchanged. This is because the motion group is a subgroup of the affine group, and the affine group is a subgroup of the shooting group.
Piccolo incrocio
Secondo quanto sopra, le proprietà immutabili sotto un certo gruppo di cambiamento devono essere la natura del suo sottogruppo, ma non è necessario stabilirlo, cioè il gruppo Maggiore è la differenza, minore è la geometria; più piccolo è il gruppo, maggiore è il contenuto geometrico. Ad esempio, nella geometria europea, la natura affine (rapporto singolo, parallelismo, ecc.) può essere discussa nella geometria affine (come distanza, angolo, ecc.).
La proposta della Cerimonia di Erlangen intende approfondire la comprensione geometrica. Mette tutti i geomenti in una forma unificata, facendo chiarire gli oggetti della geometria classica; mostrando come stabilire un metodo geometrico dello spazio astratto, un ruolo guida nello sviluppo futuro, significato storico così di vasta portata.