Съдържание
През 1872 г. немският математик Клайн предлага статия за "Сравнителен преглед на съвременната геометрия" в университета на Еранския университет. Той предложи така наречената геометрия да изучава естеството на определен тип трансформация, оставаща непроменена. Според тази гледна точка "геометричната природа" на така наречената графика е природата на промяната в трансформираща група. С други думи, колко различни трансформационни групи имат много различни геометрии. Този възглед на Клайн по-късно се нарича "Erlanggen".
Въведение SAFR група
Геометрична трансформация
дава множество M от всеки геометричен обект, а съгласуваното се нарича пространство. Процесът, който променя всеки геометричен обект (или елемент) в друг геометричен обект, се нарича геометрична трансформация на M, наричана трансформация. Геометричен обект се обозначава с алфа или модел, конфигуриран от много обекти, и α променя α на друг обект или графика B под T, запомнете T (α) = B, B Изображението на α, α се нарича източник на изображение на б.
Вземете друга роля на трансформация S към B, задайте S (b) = c, ако двата непрекъснати ефекта на трансформация, α се променят на с, така че процесът на промяна към с също е трансформация, не забравяйте да p, т.е. p (α) = с. P Продуктът на S и T се означава като P = ST. Редът на трансформиращия продукт обикновено е непостоянен, т.е. ST ≠ TS.
Ако има три трансформации T, S, R, предишно действие T, последвано от S и накрая R, и резултатът е RST, редът на символа представлява дясната страна наляво. Комбинацията от продукт на трансформация е установена: (RS) T = R (ST) = RST.
Ако T се промени, всеки елемент B е образ на уникален елемент α и тогава t е трансформация едно към едно. По това време T има определена обратна трансформация, запомнете T -1, продуктът t-1 поддържа всеки елемент, което е постоянно преобразуване, запомняйки E, TT-1 = T-1T = E.
Групата за преобразуване е колекция от ограничени или неограничени трансформации на M и удовлетворява следните две условия: 1. Продуктът на всеки две трансформации в колекцията G принадлежи на G; 2 Всяко от обезпечението g Трансформацията трябва да има своя обратна трансформация и тази обратна трансформация също принадлежи на G, което се нарича група за преобразуване на M.
Ако част от трансформацията е взета от известна трансформираща група G, цялата съставна трансформираща група G1 и трансформираща подгрупа на G1 е G1.
се дефинира от дефиницията: интегрирането на набори за спорт, набори за афинно преобразуване, комплекти за отражение и т.н. в равнина или пространство съставлява трансформираща група, съответно наречена група за почит, афинна група, група снаряди и други подобни, съответно . Изчакайте; групата за движение е подгрупа на афинната група, спортната група и афинната група са подгрупата на групата по стрелба.
дадено пространство M и трансформираща група G, ако има трансформация в G, графиката α става графика B, а α и B са еквивалентни. Може да се стартира дефиниция от групата за трансформация:
1 Ако графиката α е еквивалентна на графика B, графиката B също е еквивалентна на еквивалент на графика α. Всъщност, ако графиката α е еквивалентна на B, групата G трябва да промени T, така че T (α) = B; това е T-1 (b) = α, но T-1 принадлежи на G, което показва, че G Има промяна за промяна на B на α, така че B е еквивалентно на α.
2 Ако две графики α и b са еквивалентни на третата графика с еквивалент, α и b са еквивалентни една на друга. Всъщност, ако α е еквивалентно на с еквивалентност, групата g трябва да промени T, така че T (α) = с; ако B е еквивалентен на с, G трябва да промени S, така че S (b) = с Така, S-1 (с) = B, следователно S-1T (α) = B, така че моделът α и B е еквивалентен.
Едновариантен
Еквивалентната природа на Clein на графиките в пространството M се нарича геометрична природа или постоянна природа, а геометричните свойства са всяко преобразуване в известната група G. Непромененото количество се комбинира, което очевидно е всички еквивалентни графики. Всички инвариантни свойства под група G се наричат природа на G, а геометрията на природата, принадлежаща на g, е известна като геометрия от G.
Идеята на Клайн
Clein's theory of various geometries as the constant nature of various groups they have learned, making it in the 1980s The various geometries found have shown a more profound connection, and he proposed this group of view in the famous "Erranian Gang". Here, it takes out the idea of geometric classification in accordance with the change group - the idea of the Erlanggen. For example, the nature of the motion is the metrics, and the geometric geometric geometric geometry is called metrics (Ou's geometry); the nature of the affine transformation is the nature of the affine, and the geometric of the affine is called the affine geometry; The nature of the shooting transform is the material of the shooting, and the geometric geometry of the material is called the shooting geometry; Under the sport, the distance, angle, area, parallelism, single ratio, and cross-comparison; under affine transformation, distance, angle, area varies, but (in the same direction line segment) single, parallel Sexuality, a total linear, comparison, remain unchanged; for the shooting group, single ratio, parallelism changes, but co-linear, and the volume is maintained unchanged. This is because the motion group is a subgroup of the affine group, and the affine group is a subgroup of the shooting group.
Малко кръстовище
Съгласно горното, непроменимите свойства при определена група за промяна трябва да бъдат естеството на нейната подгрупа, но не е необходимо да се установява, т.е. групата Колкото по-голяма е разликата, толкова по-малка е геометрията; колкото по-малка е групата, толкова повече геометрично съдържание. Например в европейската геометрия афинната природа (единично съотношение, успоредност и т.н.) може да се обсъжда в афинната геометрия (като разстояние, ъгъл и т.н.).
Предложението на церемонията в Ерланген има за цел да задълбочи геометричното разбиране. Той поставя всички геометрии в единна форма, карайки хората да изяснят обектите на класическата геометрия; показва как да се установи геометричен метод на абстрактно пространство, водеща роля в бъдещото развитие, толкова далечно историческо значение.