Общ преглед
В дискретната математика нека R() е всеки n-инен предикат на Γ и t1, t2,..., tn са всякакви n елемента от всяко F, тогава R(t1,t2,...tn) е атомната формула на Γ. Обикновено една атомна формула е съставена от няколко предикатни символа и термини. Постоянните символи са най-простите термини, използвани за представяне на обекти или обекти в домейна. Това могат да бъдат действителни обекти, концепции или неща с имена, а променливите символи също са елемент, не е необходимо да включва кой обект е той. Добре оформените формули в логическите системи обикновено се дефинират рекурсивно чрез идентифициране на всички валидни атомни формули и даване на правила за формулиране на формули от две атомни формули. Формулите, направени от атомни формули, са съставни формули.
Например, има следните правила за конструиране на формули в пропозиционалната логика:
Всяка пропозиционална променлива p е добре оформена атомна формула.
При дадена формула A, отречете, че ¬A ("не A") е добре оформена формула.
При дадени две формули A и B, връзката A∧B („A и B“) е добре оформена формула.
При дадени две формули A и B, дизюнкцията A∨B („A или B“) е добре оформена формула.
При дадени две формули A и B, импликацията A⇒B („A предполага B“) е добре оформена формула.
Така че можем да конструираме произволно сложни съставни формули, например от прости атомни формули p, q и r и нашите правила за конструиране ((p∧¬(q⇒r)))∨ ¬p).
Предикатна логика
Въведение
Често можете да видите изявления, съдържащи променливи в математически твърдения, компютърни програми и системни спецификации, като изявлението "x е по-голямо от 3", сказуемото е "по-голямо от 3", сказуемото показва свойство на субекта на изречението.
Предикатната логика е вид логически модел, това е най-точният начин за изразяване на мислене и разсъждение досега и е най-широко използваният начин за изразяване на знания. Основните компоненти на предикатната логика са предикатни символи, променливи символи и константни символи, разделени от скоби, квадратни скоби, къдрави скоби и запетаи, за да покажат връзката в домейна. Може да се нарече и логика от първи ред. Предикатната логика също се разделя на класическа предикатна логика и некласическа предикатна логика. Последната включва некласическата пропозиционална логика като подсистема. Класическата логика на предикатите от първи ред е основната част от логиката на предикатите. Първата цялостна логическа система на предикатите е създадена от Г. Фреге през 1879 г. К. Гьодел и други систематично изучават металогическите проблеми на логиката на предикатите и доказват важни теореми.
В логиката на предикатите трябва да обърнете внимание на следните точки, когато използвате квантори:
(1) В различни индивидуални области формата на символизацията на предложението може да бъде различна и стойността на истината на предложението също може да се промени.
(2) При разглеждане на символизацията на предложенията, ако отделният домейн не е обяснен, трябва да се използва целият индивидуален домейн.
(3) Когато се появят множество квантори, редът им не може да бъде обърнат по желание, в противен случай значението на предложението може да бъде променено.
Формулата на предиката е само символен низ, безсмислен, но ние даваме на този символен низ обяснение, караме го да има истинна стойност, той се превръща в предложение. Така нареченото обяснение е всяка променлива във формулата да съответства на елементите в отделния домейн.
В логиката на предикатите символизацията на предложението трябва да указва индивидуалния домейн и той се счита за целия индивидуален домейн без специални инструкции. Като цяло използвайте универсалния квантификатор ", използвайте ® след характеристичния предикат; използвайте квантора на съществуване $, използвайте Ù след характеристичния предикат;
Система от аксиоми
Универсално валидна формула за логика на предикатите В известен смисъл всички те са логически закони. За да изучаваме систематично тези закони, трябва да ги разглеждаме като цяло и да ги включваме в система. Предикатното смятане или предикатното смятане от първи ред е такава система. Предикатното смятане е формална система, установена чрез аксиоматизиране и формализиране на логиката на предикатите. Според различните селекции на началните символи, аксиоми и правила за деформация, които са началната точка на смятането, могат да бъдат установени различни системи за предикатно смятане. Има символ = в началния символ, известен като предикатно смятане от първи ред с равни думи, равни думи = е предикатна константа; системата без равни думи се нарича (от първи ред) предикатно смятане. Основните елементи, които съставляват система от аксиоми на предикатната логика, са: начални символи, правила за формиране, аксиоми и правила за деформация и т.н. Това може да се обясни от система F без равни думи. Първоначалните символи на F включват индивидуални променливи, предикатни променливи, свързващи елементи и квантори и технически символи. Малките латински букви на отделните променливи символи са: x,y,z,x1,y1,z1,x2,...; символите на предикатната променлива са главни латински букви, а именно: F,G,H,F1,G1,.... По принцип за всяко n≥1, n-арните предикатни променливи трябва да бъдат изброени отделно, като например: F1, G1 , H1,...; F2, G2, H2,...; и т.н. Въпреки това, пропуснете горния индекс 1, 2,...,n, няма да има объркване на практика. Свързващите и кванторни символи са: 塡, →, 凬; техническите символи са скоби (,) и запетаи. Правилата за образуване определят каква последователност от символи или комбинация от символи е Добре оформената формула в F. Добре оформената формула има смисъл след обяснение. Езикът, използван за описание и обсъждане на системата F, тоест символите на метаезика са: малки гръцки букви α, α1, …, αn, δ представляват произволни индивидуални променливи; Fn представлява всяка n-арна предикатна променлива; главни латински букви X, Y представляват произволна последователност от символи. Тези символи се наричат граматични променливи. Има четири правила за формиране на F: ①Ако fn е n-арна предикатна променлива, α1,…,αn са отделни променливи, тогава fn(α1,…,αn) е комбинирана формула;
②Ако X е комбинирана формула, тогава X е комбинирана формула. Ако X, Y са добре оформена формула, тогава (X→Y) е добре оформена формула;
③Ако X е добре оформена формула и α е индивидуална променлива, тогава (凬α)X е добре оформена формула;
④Единствените подходящи формули за горните ①～③ са добре оформени формули. Добре оформените формули се означават съкратено като формули. Използвайте букви A, B и C за представяне на произволни формули. A, B и C също са граматични променливи и принадлежат към метаезика.
Добре оформена формула
Пропозиционалната формула е обект на обсъждане на пропозиционалната логика и произволен брой съставни пропозиции могат да бъдат формирани чрез използването на свързващи елементи от пропозиционалните променливи, като P∧Q, P∧Q∨R, P→Q и т.н. Въпросът е дали всички те имат значение? Твърдението P,P∧Q,P→Q само с един свързващ елемент разбира се има смисъл. Твърдението P∧Q∨R, съставено от две съединители, е най-малкото неясно. Трябва ли първо да направим P∧Q и след това ∨ към R, или първо да направим Q∨R и след това да направим ∧ към P? P∧Q има същия проблем. . Лесно е да се реши редът на операциите. Можете да използвате скоби като елементарна алгебра. Скобите често се използват в логическите операции, за да се разграничи редът на операциите. По този начин всички символи на пропозиционалната логика са съставени от пропозиционални променливи, пропозиционални връзки и скоби. Допълнителният проблем е да се установи общ принцип, за да се генерират всички легални пропозиционални формули и да се определи какъв вид символни низове са законни.
В официалната логика доказателството е WFF последователност със специфични свойства и окончателната WFF в последователността трябва да бъде доказана.
Определението на добре оформена формула (съкратено Wff):
1. Простото предложение е добре оформена формула.
2. Ако A е добре оформена формула, тогава A също е добре оформена формула.
3. Ако A и B са добре оформени формули, тогава (A∧B), (A∨B), (A→B) и (AB) са добре оформени формули.
4. Това е добре оформена формула, ако и само ако символният низ, съставен от 1.2.3, се използва ограничен брой пъти.
Тази дефиниция дава общия принцип за установяване на добре оформена формула, както и принципа за идентифициране дали низ от символи е добре оформена формула.
Това е определението за рекурсия (индукция). В дефиницията се използва понятието, което трябва да се дефинира. Например в 2 и 3 се появява добре оформената формула, която трябва да се дефинира. Второ, дефиницията уточнява първоначалната ситуация. Например, 1 показва, че известното просто твърдение е добре оформена формула.
Условие 4 обяснява какво не е добре оформена формула, но 1, 2 и 3 не могат да обяснят това.
Съгласно дефиницията, ако една формула се прецени дали е добре оформена формула, тя трябва да бъде освободена и върната към просто предложение, преди да може да бъде оценена.
(P∧Q),(P→(P∧Q)),
((((P→Q)∧(Q→R))(P→R)) Всички те са добре оформени формули. И P∨Q∨,((P→Q)→(∧Q)) ,(P→Q не е добре оформена формула, безсмислена, няма да я обсъждаме.
При действителна употреба, за да се намали кръгът, броят на скобите може да въведе някои конвенции, като например начина за определяне на приоритета на съюзите, които могат да бъдат подредени в реда на, ∨, ∧, → и множество еднаквите съюзи имат приоритет отляво надясно. По този начин, когато пишете добре оформена формула, можете да пропуснете част или всички скоби. Обикновено се използва методът за изпускане на част от скобите и запазване на част от скобите, така че изборът да донесе удобство при четенето на формулата. Например,
(P→( Q∨R)) може да се запише като P→(Q∨R) или P→Q∨R.
(P→(P→R)) може да се запише като P→(P→R).
В пропозиционалното смятане се обсъждат само комбинирани формули. За удобство комбинираните формули се наричат формули.